Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Metoden i videon löser verkligen problemet med att hitta en lösning till \[ y\frac{\partial f}{\partial x}+x\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+y^2 \] som uppfyller \(f(x,0)=x^6\). Men det finns svårigheter med metoden som man bör känna till. Ekvationen i \(u,v\)-variablerna är ekvivalent med den ursprungliga bara om avbildningen \(u=u(x,y),v=v(x,y)\) är en (tillräckligt deriverbar) bijektion från \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\). Så är det inte i detta fall eftersom \(u=x^2-y^2,v=xy\) avbildar t ex båda punkterna \((0,1)\) och \((0,-1)\) på samma punkt \((-1,0)\).Vad blir bilden av det högra halvplanet \(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x\ge 0\}\) under denna avbildning? (ganska svår)
Svar:
Bilden är lika med hela planet \(\mathbb{R}^2\). Detta kan t ex inses med hjälp av polära koordinater. Om \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\), \(-\frac{\pi}{2}\le\theta \le\frac{\pi}{2}\), så blir
\[
u=x^2-y^2=r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta=r^2\cos 2\theta,
\]
\[
v=xy=(r\cos\theta)(r\sin\theta)=\frac12 r^2\sin 2\theta.
\]
För en godtycklig punkt \((u,v)\in \mathbb{R}^2\) kan vi nu välja \((x,y)\) som den punkt med polära koordinater \(r=\sqrt{r_1},\theta=\theta_1/2\), där
\(r_1,\theta_1\), \(-\pi\le\theta_1 \le\pi\), är de polära koordinaterna för punkten \((u,2v)\), vilket visar att \((u,v)\) tillhör bildmängden till avbildningen.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: