Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Undersök funktionen \[ f(x,y) =x^3+3y^2-6xy \] med avseende på stationära punkter och, i förekommande fall, deras karaktär.a) $f$ har en stationär punkt i $(0, 0)$. Bestäm dess karaktär.
b) $f$ har även en annan stationär punkt, finn denna och bestäm dess karaktär. Ange ditt svar på formen $(x, y)$. (normal)
Svar:
Vi får \(\nabla f=(3x^2-6y,6y-6x)=(0,0)\), vilket ger att
\(x=y\) och vidare \(3x^2-6x=0\Rightarrow x=0\) eller \(x=2\). Vi får
alltså de två stationära punkterna \((0,0)\) och
\((2,2)\). För att beräkna den kvadratiska formen
\(Q=f''_{xx}h^2+2f''_{xy}hk+f''_{yy}k^2\) observerar
vi att \(f''_{xx}=6x,f''_{yy}=6\) och
\(f''_{xy}=-6\).
a. \((0,0)\). Vi får \(Q=-12hk+6k^2=6(h-k)^2-6h^2\) som är indefinit, dvs punkten är en sadelpunkt.
b. \((2,2)\). Vi får \(Q=12h^2-12hk+6k^2=6(h-k)^2+6h^2\) som är positivt definit, dvs punkten är en lokal minpunkt.
a. \((0,0)\). Vi får \(Q=-12hk+6k^2=6(h-k)^2-6h^2\) som är indefinit, dvs punkten är en sadelpunkt.
b. \((2,2)\). Vi får \(Q=12h^2-12hk+6k^2=6(h-k)^2+6h^2\) som är positivt definit, dvs punkten är en lokal minpunkt.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: