Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Bestäm antalet stationära punkter till funktionen \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) under bivillkoret \(x^4+y^4+z^4-3=0\) (ganska svår)Svar:
Vi beräknar gradienterna :
\[
\nabla f=(2x,2y,2z),\quad \nabla g=(4x^3,4y^3,4z^3).
\]
I en stationär punkt gäller (eftersom \(\nabla g\ne (0,0,0)\) i alla punkter på ytan) att
\(\nabla f+\lambda \nabla g=(0,0,0)\), vilket ger ekvationerna
\[
\left\{
\begin{array}{c}
2x+\lambda 4x^3=0, \\
2y+\lambda 4y^3=0, \\
2z+\lambda 4z^3=0.
\end{array}
\right.
\]
Den första ekvationen ger antingen att \(x=0\) eller \(x^2=-\frac{1}{2\lambda}\), och motsvarande gäller för \(y\) och \(z\). Det följer att så fort två av koordinaterna är skilda från noll så måste deras belopp vara lika. Eftersom inte alla kan vara noll får vi följande fall:
I. Alla tre lika dvs \(|x|=|y|=|z|\). Insatt i bivillkoret får vi ekvationen \(3x^4=3\), med lösningarna \(x=\pm 1\), vilket ger de kritiska punkterna \((\pm 1,\pm 1,\pm 1)\) (åtta punkter).
II. Två lika och en noll. \(|x|=|y|\) ger insatt i bivillkoret ekvationen \(2x^4=3\), med lösningarna \(x=\pm \sqrt[4]{3/2}\), vilket ger de kritiska punkterna \((\pm \sqrt[4]{3/2},\pm\sqrt[4]{3/2},0)\), och på samma sätt \((0,\pm \sqrt[4]{3/2},\pm\sqrt[4]{3/2})\) och \((\pm \sqrt[4]{3/2},0,\pm\sqrt[4]{3/2})\) (tolv punkter).
III. Två lika med noll och en skild från noll. \(x\ne 0\) ger insatt i bivillkoret ekvationen \(x^4=3\), med lösningarna \(x=\pm \sqrt[4]{3}\), vilket ger de kritiska punkterna \((\pm \sqrt[4]{3},0,0)\), och på samma sätt \((0,\pm \sqrt[4]{3},0)\) och \((0,0,\pm\sqrt[4]{3})\) (sex punkter).
Totalt får vi alltså \(8+12+6=26\) punkter.
I. Alla tre lika dvs \(|x|=|y|=|z|\). Insatt i bivillkoret får vi ekvationen \(3x^4=3\), med lösningarna \(x=\pm 1\), vilket ger de kritiska punkterna \((\pm 1,\pm 1,\pm 1)\) (åtta punkter).
II. Två lika och en noll. \(|x|=|y|\) ger insatt i bivillkoret ekvationen \(2x^4=3\), med lösningarna \(x=\pm \sqrt[4]{3/2}\), vilket ger de kritiska punkterna \((\pm \sqrt[4]{3/2},\pm\sqrt[4]{3/2},0)\), och på samma sätt \((0,\pm \sqrt[4]{3/2},\pm\sqrt[4]{3/2})\) och \((\pm \sqrt[4]{3/2},0,\pm\sqrt[4]{3/2})\) (tolv punkter).
III. Två lika med noll och en skild från noll. \(x\ne 0\) ger insatt i bivillkoret ekvationen \(x^4=3\), med lösningarna \(x=\pm \sqrt[4]{3}\), vilket ger de kritiska punkterna \((\pm \sqrt[4]{3},0,0)\), och på samma sätt \((0,\pm \sqrt[4]{3},0)\) och \((0,0,\pm\sqrt[4]{3})\) (sex punkter).
Totalt får vi alltså \(8+12+6=26\) punkter.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: