Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Låt \(f(x,t)\) vara en lösning till den endimensionella vågekvationen med \(c=1\), \[ \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \] och antag dessutom att \(f(x,t)\) vid tiden \(t=0\) uppfyller begynnelsevillkoren \[ f(x,0)=\sin x \qquad \textrm{och} \qquad f'_t(x,0)=0. \] Bestäm \(f(x,t)\) för alla värden på \(x\) och \(t\). (normal)Svar:
Från videon vet vi att \(f(x,t)=\Phi(x-t)+\Psi(x+t)\), så det gäller att bestämma \(\Phi\) och \(\Psi\). Insättning av \(t=0\) ger
\[
\sin x=f(x,0)=\Phi(x)+\Psi(x).
\]
Om vi deriverar \(f(x,t)\) m a p \(t\) och sätter \(t=0\) får vi också
\[
0=f'_t(x,0)=-\Phi'(x)+\Psi'(x).
\]
För att kunna lösa dessa ekvationer för \(\Phi\) och \(\Psi\) deriverar vi den första ekvationen, vilket tillsammans med den andra ekvationen ger systemet
\[
\left\{
\begin{array}{rc}
\Phi'(x)+\Psi'(x)=&\cos x,\\
-\Phi'(x)+\Psi'(x)=&0,
\end{array}
\right.
\]
med den uppenbara lösningen \(\Phi'(x)=\Psi'(x)=\frac12\cos x,\) vilket efter integration ger \(\Phi(x)=\frac12\sin x\,\,(+C_1)\) och \(\Psi(x)=\frac12\sin x\,\, (+C_2)\), och efter insättning i formeln för \(f(x,t)\):
\[
f(x,t)=\frac12\sin(x-t)+\frac12\sin(x+t).
\]
Här har konstanterna \(C_1\) och \(C_2\) strukits eftersom bivillkoret \(f(x,0)=\sin x\) visar att deras summa måste vara noll.
Anmärkning: Svaret kan med additionsformlerna för sinus förenklas till \[ f(x,t)=\sin x\cos t. \] Detta är en så kallad "stående våg". Den beskriver t ex grundsvängningen hos en sträng som spänts upp mellan \(x=0\) och \(x=\pi\).
Anmärkning: Svaret kan med additionsformlerna för sinus förenklas till \[ f(x,t)=\sin x\cos t. \] Detta är en så kallad "stående våg". Den beskriver t ex grundsvängningen hos en sträng som spänts upp mellan \(x=0\) och \(x=\pi\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: