Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Antag att funktionen \(f(x,y)\) är av klass \(C^2\) i någon omgivning till origo, och antag vidare att \(f(2t,t)=2t^2, f(t,t)=t^2\) och \(f(t,2t)=5t^2\). Beräkna Taylorpolynomet av grad två i origo. (normal)Svar:
Vi observerar första att sambanden ger att \(f(0,0)=0\). Vi deriverar sedan de tre ekvationerna med avseende på \(t\) med hjälp av
kedjeregeln:
\[
\left\{ \begin{array}{ll}
2f'_{x}(2t,t)+f'_{y}(2t,t)&=4t \\ f'_{x}(t,t)+f'_{y}(t,t)&=2t \\
f'_{x}(t,2t)+2f'_{y}(t,2t)&=10t
\end{array} \right.
\]
Insättning av \(t=0\) ger lätt att \(f'_{x}(0,0)=f'_{y}(0,0)=0\).
För att bestämma andraderivatorna deriverar vi ekvationerna
ytterligare en gång:
\[|
\left\{ \begin{array}{ll}
4f''_{xx}(2t,t)+4f''_{xy}(2t,t)+f''_{yy}(2t,t)&=4 \\
f'_{xx}(t,t)+2f''_{xy}(t,t)+f''_{yy}(t,t)&=2 \\
f''_{xx}(t,2t)+4f''_{xy}(t,2t)+4f''_{yy}(t,2t)&=10
\end{array} \right.
\]
Insättning i dessa ekvationer av $t=0$ ger följande villkor på
\(f'_{xx}(0,0),f''_{xy}(0,0)\) och \(f''_{yy}(0,0)\):
\[
\left\{ \begin{array}{ll}
4f''_{xx}(0,0)+4f''_{xy}(0,0)+f''_{yy}(0,0)&=4 \\
f'_{xx}(0,0)+2f''_{xy}(0,0)+f''_{yy}(0,0)&=2 \\
f''_{xx}(0,0)+4f''_{xy}(0,0)+4f''_{yy}(0,0)&=10
\end{array} \right.
\]
Detta ekvationssystem har den entydiga lösningen
\[
f''_{xx}(0,0)=2,\, f''_{xy}(0,0)=-2, \, f''_{yy}(0,0)=4.
\]
Vi kan nu skriva upp \(p_2(h,k)=\)
\[
\frac12\left(f''_{xx}(0,0)h^2+2 f''_{xy}(0,0)hk+ f''_{yy}(0,0)k^2\right)=
\]
\[
h^2-2hk+2k^2.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: