Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Funktionen \[ f(x,y,z)=x+y, \] har under bivillkoren \(g(x,y,z)=x+y+z=0\) och \(h(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-6=0\) två stationära punkter. Ange dessa i ordning efter växande $x$-koordinat. (normal)Svar:
\(\nabla f=(1,1,0)\) ,\(\nabla g=(1,1,1)\) och \(\nabla h=(2x,2y,2z)\) ger determinanten
\[
\left|
\begin{array}{c}
\nabla f\\
\nabla g\\
\nabla h
\end{array}
\right|
=
\left|
\begin{array}{ccc}
1&1&0\\
1&1&1\\
2x&2y&2z
\end{array}
\right|=
2x-2y.
\]
De stationära punkterna måste därför uppfylla ekvationerna
\[
\left\{
\begin{array}{lc}
x-y&=0\\
x+y+z&=0\\
x^2+y^2+z^2&=6.
\end{array}
\right.
\]
Vi eliminerar \(x\) genom att använda den första ekvationen och får
\[
\left\{
\begin{array}{lc}
2y+z&=0\\
2y^2+z^2&=6.
\end{array}
\right.
\]
Vi sätter in \(z=-2y\) i den sista ekvationen och får \(6y^2=6\), vilket ger \(y=\pm 1\) och därmed \(x=y=\pm 1\) och \(z=-2y=\mp2\). Vi får alltså de två stationära punkterna \((-1,-1,2)\) och \((1,1,-2)\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: