Problemet liknar i många avseenden det föregående. Men här är det svårare att för ett givet \(\epsilon>0\) konstruera \(\Phi(x)\) och \(\Psi(x)\) så att \(\Phi(x) \le f(x)\le \Psi(x)\) och \[ \int_0^1\Psi(x)\,dx-\int_0^1\Phi(x)\,dx<\epsilon. \] Här är en metod: Eftersom \(f(x)\) är kontinuerlig på intervallet \([\frac{\epsilon}4,1]\) så finns det enligt satsen i videon trappfunktioner \(\Phi_0(x)\) och \(\Psi_0(x)\) på \([\frac{\epsilon}4,1]\) så att \(\Phi_0(x) \le f(x)\le \Psi_0(x)\) och \[ \int_{\frac{\epsilon}4}^1(\Psi_0(x)-\Phi_0(x))\,dx<\frac{\epsilon}{2}. \] Vi kan nu definiera \[ \Phi(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \Phi_0(x)&\,\, \textrm{om}\,\, \frac{\epsilon}4\le x\le 1,\\ -1 & \textrm{om}\,\, 0\le x<\frac{\epsilon}4, \end{array} \right. \] \[ \Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \Psi_0(x)&\,\, \textrm{om}\,\, \frac{\epsilon}4\le x\le 1,\\ 1 & \textrm{om}\,\, 0\le x<\frac{\epsilon}4. \end{array} \right. \] Då gäller att \(\Phi(x) \le f(x)\le \Psi(x)\) och \[ \int_0^1\Psi(x)\,dx-\int_0^1\Phi(x)\,dx= \] \[ \int_0^{\frac{\epsilon}4}(\Psi(x)-\Phi(x))\,dx+\int_{\frac{\epsilon}4}^1(\Psi(x)-\Phi(x))\,dx< \] \[ \int_0^{\frac{\epsilon}4}2\,dx+\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon. \] Eftersom \(\epsilon>0\) var godtyckligt så är enligt kriteriet i avsnitt 13.3 \(f(x)\) integrerbar på \([0,1]\).