Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Antag att vi om talföljden \(\{a_k\}_{k=1}^{\infty}\) vet att den uppfyller följande olikheter: \[ \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^k\le a_k \le \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}. \] Beräkna \[ \lim_{k\to\infty}a_k. \] (normal)Svar:
Enligt instängningslagen räcker det att beräkna gränsvärdena av ytterleden och att visa att dessa sammanfaller. Vi får (m h a kvot- och produktreglerna)
\[
\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^k=
\lim_{k\to\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}}{\left(1+\frac{1}{k+1}\right)}=
\frac{e}{1}=e,
\]
\[
\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}=
\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\cdot \left(1+\frac{1}{k}\right)=
e\cdot 1=e.
\]
Vi kan alltså dra slutsatsen att
\[
\lim_{k\to\infty}a_k=e.
\]
Kommentar: Detta är användbart t ex för att visa standardgränsvärdet (se avsnitt 10:4)
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: