a) Detta villkor definierar en hyperbel. Som sådan är den inte begränsad och kan alltså inte vara kompakt.

b) Eftersom alla de tre termerna \(x^2\), \(x^4y^4\) och \(y^2\) är positiva så kan ingen av dom vara större än 4 om villkoret ska vara uppfyllt. De följer speciellt att \(|x|\le 2\) och \(|y|\le 2\), vilket innebär att mängden är innehållen i kvadraten \(\{(x,y): |x|\le 2,|y|\le 2\}\) och alltså är begränsad. Eftersom den automatiskt är sluten så är den kompakt.

c) Efter kvadratkomplettering kan villkoret skrivas \[ (x^2-\frac12 y^2)^2+\frac34 y^4=2. \] Det följer nu först att \(\frac34 y^4\le 2\Rightarrow |y|\le \sqrt[4]{\frac83}\le 2\), och sedan att \((x^2-\frac12 y^2)^2\le 2\Rightarrow x^2\le \frac12 y^2+2\le 4\), vilket innebär att mängden är innehållen i rektangeln \(\{(x,y): |x|\le 2,|y|\le \sqrt2\}\) och alltså är begränsad. Som i b) följer att den är kompakt.

d) För varje fixt \(y\ne 0\) ger villkoret en femtegradsekvation för \(x\) som har minst en reell rot. Det följer att det finns punkter i mängden på godtyckligt stort avstånd från origo, och att mängden alltså omöjligt kan vara kompakt.