Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Vilka av följande villkor definierar kompakta delmängder av planet \(\mathbb{R}^2\)?a) \(x^2+3xy+y^2-1=0,\)
b) \(x^2+x^4y^4+y^2-4=0,\)
c) \(x^4-x^2y^2+y^4-2=0,\)
d) \(x^5y^2+3x^4y^4-2x^3+y^2-7xy^2-4=0.\)
(normal)
Svar:
a) Detta villkor definierar en hyperbel. Som sådan är den inte begränsad och kan alltså inte vara kompakt.
b) Eftersom alla de tre termerna \(x^2\), \(x^4y^4\) och \(y^2\) är positiva så kan ingen av dom vara större än 4 om villkoret ska vara uppfyllt. De följer speciellt att \(|x|\le 2\) och \(|y|\le 2\), vilket innebär att mängden är innehållen i kvadraten \(\{(x,y): |x|\le 2,|y|\le 2\}\) och alltså är begränsad. Eftersom den automatiskt är sluten så är den kompakt.
c) Efter kvadratkomplettering kan villkoret skrivas \[ (x^2-\frac12 y^2)^2+\frac34 y^4=2. \] Det följer nu först att \(\frac34 y^4\le 2\Rightarrow |y|\le \sqrt[4]{\frac83}\le 2\), och sedan att \((x^2-\frac12 y^2)^2\le 2\Rightarrow x^2\le \frac12 y^2+2\le 4\), vilket innebär att mängden är innehållen i rektangeln \(\{(x,y): |x|\le 2,|y|\le \sqrt2\}\) och alltså är begränsad. Som i b) följer att den är kompakt.
d) För varje fixt \(y\ne 0\) ger villkoret en femtegradsekvation för \(x\) som har minst en reell rot. Det följer att det finns punkter i mängden på godtyckligt stort avstånd från origo, och att mängden alltså omöjligt kan vara kompakt.
b) Eftersom alla de tre termerna \(x^2\), \(x^4y^4\) och \(y^2\) är positiva så kan ingen av dom vara större än 4 om villkoret ska vara uppfyllt. De följer speciellt att \(|x|\le 2\) och \(|y|\le 2\), vilket innebär att mängden är innehållen i kvadraten \(\{(x,y): |x|\le 2,|y|\le 2\}\) och alltså är begränsad. Eftersom den automatiskt är sluten så är den kompakt.
c) Efter kvadratkomplettering kan villkoret skrivas \[ (x^2-\frac12 y^2)^2+\frac34 y^4=2. \] Det följer nu först att \(\frac34 y^4\le 2\Rightarrow |y|\le \sqrt[4]{\frac83}\le 2\), och sedan att \((x^2-\frac12 y^2)^2\le 2\Rightarrow x^2\le \frac12 y^2+2\le 4\), vilket innebär att mängden är innehållen i rektangeln \(\{(x,y): |x|\le 2,|y|\le \sqrt2\}\) och alltså är begränsad. Som i b) följer att den är kompakt.
d) För varje fixt \(y\ne 0\) ger villkoret en femtegradsekvation för \(x\) som har minst en reell rot. Det följer att det finns punkter i mängden på godtyckligt stort avstånd från origo, och att mängden alltså omöjligt kan vara kompakt.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: