Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Kurvan \(x^3 + y^3 = 3xy\) i videon kallas ofta för Cartesius blad. Det går faktiskt att studera detta
blad genom att hitta en parametrisering: Sätt \(t = y/ x\) . Då blir
\(y = tx\) och \(x^3(1+ t^3 ) = 3x^2t\) vilket ger (för \(t \not= -1\))
\[
x(t) = \frac{3t}{1 + t^3} \text{ och } y(t) = \frac{3t^2}{1+ t^3}.
\]
Detta ger en parametrisering av hela kurva. Använd denna parametrisering för att ge ett alternativt argument för att \(f(x,y)=x+y\) inte antar något minsta värde på Cartesius blad, och bestäm dessutom den största undre begränsningen till \(f\) på kurvan, alltså det största tal \(\mu\) som har egenskapen att \(\mu\le f(x,y)\) för alla punkter på kurva. (svår)
Vi sätter
\[
h(t)=f(x(t),y(t))=\frac{3t}{1 + t^3} + \frac{3t^2}{1+ t^3}=3\frac{t+t^2}{1+ t^3}
\]
och konstaterar \(h(t)\) antar precis samma värden då \(t\in\mathbb{R}\setminus \{-1\}\), som \(f(x,y)\) antar på kurvan. Därför räcker det att visa att \(h\) inte något minsta värde och att beräkna den största undre begränsningen.
Vi deriverar
\[
h'(t)=3\frac{(1-t)(t+1)^3}{(1+ t^3)^2}
\]
och får följande teckenschema:
En kort räkning också ger att
\[
\lim_{t\to -1-} h(t)=-1=\lim_{t\to -1+} h(t).
\]
Tillsammans med teckenschemat ger detta att funktionen närmar sig \(-1\) när \(t\to -1\), men att värdet \(-1\) aldrig antas. Vi drar slutsatsen att \(\mu=-1\) är den största undre begränsningen.