Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Återför, genom lämpliga variabelbyten, gränsvärdet \[L = \lim_{x\to \pi/4}\frac{\arctan(x-\frac{\pi}{4})}{4x-\pi} \] till standardgränsvärdet för \(\sin t/t\) och beräkna det sedan. (normal)Svar:
Vi sätter först \(u=x-\frac{\pi}{4}\) och observerar att gränsvärdet övergår i
\[
\lim_{u\to 0}\frac{\arctan u}{4u}.
\]
Om vi sedan sätter \(u=\tan t\) så får vi vidare
\[
\lim_{t\to 0}\frac{\arctan(\tan t)}{4\tan t}=
\lim_{t\to 0}\frac{t\cos t}{4\sin t}=
\lim_{t\to 0}\dfrac{\dfrac{\cos t}{4}}{\dfrac{\sin t}{t}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{1}=\frac14.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: