Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Avgör om serien \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{(k+1)(\ln (k+1))^2} \] är konvergent eller divergent. (normal)Svar:
Funktionen
\[
f(x)=\frac1{(x+1)(\ln (x+1))^2}
\]
är positiv och avtagande på \([1,\infty[\). Enligt Cauchys integralkriterium är därför konvergensen av serien ekvivalent med konvergensen av den generaliserade integralen
\[
I=\int_1^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(\ln (x+1))^2},
\]
som vi kan beräkna med hjälp av substitutionen
\(\displaystyle{t=\ln(x+1),dt=\frac{dx}{x+1}}\):
\[
\int_1^{R}\frac{dx}{(x+1)(\ln (x+1))^2}=
\int_{\ln 2}^{\ln(R+1)}\frac{dt}{t^2}=
\]
\[
\Big[-\frac1t\Big]_{\ln 2}^{\ln(R+1)}=
\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln(R+1)}\to \frac{1}{\ln 2}\,\,\textrm{då}\,\,R\to\infty.
\]
Integralen, och därmed serien, konvergerar alltså.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: