Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Om vi nu betraktar en kontinuerlig funktion \(f:I\to \mathbb{R}\), där intervallet \(I\) inte längre är slutet och begränsat, så behöver det inte längre vara sant att maximum antas. Men vad är det i beviset i videon som kan gå fel?Avgör om följande påståenden (som är sanna i det kompakta fallet) även är sanna i det icke-kompakta fallet:
a) Det finns en följd av reella tal \(x_k\in I\) sådan att \[ \lim_{k\to\infty}f(x_k)=\sup_If(x). \]
b) En sådan följd av reella tal har alltid en konvergent delföljd.
c) En sådan konvergent delföljd konvergerar mot ett element i \(I\).
d) Om delföljden konvergerar mot \(x\in I\) så gäller att \[ \lim_{k\to\infty}f(x_k)=f(x). \] (ganska svår)
Svar:
a) Sant. Detta har inget att göra med hur intervallet ser ut (och gäller för övrigt oberoende av om \(f\) är kontinuerlig eller ej).
b) Falskt. Om t ex \(I=\mathbb{R}\) och \(f(x)=\arctan x\), så kan vi välja \(a_k=k\) för \(k=1,2,3,\ldots\). Då gäller att \[ \lim_{k\to\infty}\arctan k=\frac{\pi}{2}=\sup_If(x), \] men följden av naturliga tal har ingen konvergent delföljd.
c) Falskt. Om t ex \(I=]0,\infty[\) och \(f(x)=\frac1x\), så kan vi välja \(a_k=\frac1k\) för \(k=1,2,3,\ldots\). Då gäller att \[ \lim_{k\to\infty}f(a_k)=\lim_{k\to\infty}k=\infty=\sup_If(x), \] men varje delföljd (och följden själv) går mot \(0\), som inte tillhör \(I\).
d) Sant. Det här har bara att göra med att \(f\) är kontinuerlig, inte med hur intervallet ser ut.
Det är alltså att b) och c) inte gäller allmänt som gör att satsen inte är sann för allmänna intervall.
b) Falskt. Om t ex \(I=\mathbb{R}\) och \(f(x)=\arctan x\), så kan vi välja \(a_k=k\) för \(k=1,2,3,\ldots\). Då gäller att \[ \lim_{k\to\infty}\arctan k=\frac{\pi}{2}=\sup_If(x), \] men följden av naturliga tal har ingen konvergent delföljd.
c) Falskt. Om t ex \(I=]0,\infty[\) och \(f(x)=\frac1x\), så kan vi välja \(a_k=\frac1k\) för \(k=1,2,3,\ldots\). Då gäller att \[ \lim_{k\to\infty}f(a_k)=\lim_{k\to\infty}k=\infty=\sup_If(x), \] men varje delföljd (och följden själv) går mot \(0\), som inte tillhör \(I\).
d) Sant. Det här har bara att göra med att \(f\) är kontinuerlig, inte med hur intervallet ser ut.
Det är alltså att b) och c) inte gäller allmänt som gör att satsen inte är sann för allmänna intervall.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: