Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Avgör om funktionen \(f(x,y)=(x^2+y^2-1)e^{-xy}\) antar ett största och/eller ett minsta värde i området \(\{(x,y):x,y\ge 0\}\). Bestäm max- och minvärden i förekommande fall (lämna svarsfältet tomt om värdet saknas). (ganska svår)Svar:
Vi noterar först att
\[
\lim_{t\to \infty} f(0,t)=\lim_{t\to \infty}(t^2-1)=+\infty,
\]
vilket visar att maximum inte kan antas.
För att undersöka minimum observerar vi att \(f(x,y)\ge 0\) utanför cirkeln \(x^2+y^2=1\).
Detta medför att (med \(D=\{(x,y):x,y\ge 0\}\) och \(K=\{(x,y):x,y\ge 0\,\, \mathrm{och}\,\, x^2+y^2\le 1\}\))
\[
\min_Df(x,y)=\min_Kf(x,y),
\]
där det sistnämnda antas eftersom \(K\) är kompakt. För att bestämma min räcker det att undersöka kritiska punkter i det inre av \(K\) samt randstyckena längs \(x\)- och \(y\)-axlarna (minimum kan ju inte antas längs cirkelbågen \(x^2+y^2=1\), eftersom funktionen är \(0\) där). Derivation ger
\[
\left\{
\begin{array}{ccl}
f'_{x} &=&e^{-xy}(2x-y(x^2+y^2-1))=0, \\
f'_{y} &=&e^{-xy}(2y-x(x^2+y^2-1))=0,
\end{array}
\right.
\]
\(xf'_x-yf'_y=2e^{-xy}(x^2-y^2)\), vilket visar att en kritisk punkt måste uppfylla
\(x=y\). Insatt i någon av ekvationerna leder detta till \(2x-x(2x^2-1)=0 \Leftrightarrow x=0\) eller \(x=\pm \sqrt{3/2}\), men ingen av dessa lösningar ger någon inre punkt i \(K\). Återstår randstyckena längs axlarna. Men båda funktionerna
\(f(t,0)=f(0,t)=t^2-1\) är växande för \(t\ge 0\), vilket betyder att minimum antas då \(t=0\), dvs i origo, och minimum är \(f(0,0)=-1\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: