Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Argumentera för att funktionen \(f(x,y)=xy\) antar maximum och minimum under bivillkoren \(x,y\ge 0\) och \(x^3+3xy+y^3=5\), samt bestäm sedan dessa. (ganska svår)Svar:
Vi observerar först att mängden av punkter i
\(\{(x,y): x,y\ge 0\}\) som uppfyller bivillkoret \(x^3+3xy+y^3=5\) är
kompakt (den är sluten och innehållen i kvadraten \([0,\sqrt[3]{5}]\times
[0,\sqrt[3]{5}]\), varför både max och min antas. Vidare kan dessa
extremvärden bara antas i randpunkter (\(x=0\) eller \(y=0\)) eller i
punkter där \(\nabla f\) och \(\nabla g\) är parallella (där vi infört
\(g(x,y)=x^3+3xy+y^3-5\)).
Randpunkter: \(x=0\) insatt i bivillkoret ger \(y=\sqrt[3]{5}\) och \(y=0\) insatt i bivillkoret ger \(x=\sqrt[3]{5}\). Detta ger alltså de två möjliga extrempunkterna \((0,\sqrt[3]{5})\) och \((\sqrt[3]{5},0)\) som uppenbarligen ger det globala minvärdet \(0\) eftersom \(f>0\) i alla övriga punkter i mängden.
För att hitta max beräknar vi \(\nabla f=(y,x)\) och \(\nabla g=(3x^2+3y, 3y^2+3x)\). Vi får \[ 0= \left| \begin{array}{cc} y & x \\ 3x^2+3y & 3y^2+3x \end{array} \right|= \] \[ =y(3y^2+3x)-x(3x^2+3y)=3(y^3-x^3), \] vilket ger att \(x=y\)(. Detta ger insatt i \(x^3+3xy+y^3=5\) att \(2x^3+3x^2=5\). Vi gissar lätt en rot \(x=1\), och det faktum att \(y=2x^3+3x^2\) är en strikt växande funktion visar att det inte kan finnas några andra. Den enda möjliga punkten där max kan antas är därför punkten \((1,1)\) med motsvarande maxvärde \(f(1,1)=1\).
Randpunkter: \(x=0\) insatt i bivillkoret ger \(y=\sqrt[3]{5}\) och \(y=0\) insatt i bivillkoret ger \(x=\sqrt[3]{5}\). Detta ger alltså de två möjliga extrempunkterna \((0,\sqrt[3]{5})\) och \((\sqrt[3]{5},0)\) som uppenbarligen ger det globala minvärdet \(0\) eftersom \(f>0\) i alla övriga punkter i mängden.
För att hitta max beräknar vi \(\nabla f=(y,x)\) och \(\nabla g=(3x^2+3y, 3y^2+3x)\). Vi får \[ 0= \left| \begin{array}{cc} y & x \\ 3x^2+3y & 3y^2+3x \end{array} \right|= \] \[ =y(3y^2+3x)-x(3x^2+3y)=3(y^3-x^3), \] vilket ger att \(x=y\)(. Detta ger insatt i \(x^3+3xy+y^3=5\) att \(2x^3+3x^2=5\). Vi gissar lätt en rot \(x=1\), och det faktum att \(y=2x^3+3x^2\) är en strikt växande funktion visar att det inte kan finnas några andra. Den enda möjliga punkten där max kan antas är därför punkten \((1,1)\) med motsvarande maxvärde \(f(1,1)=1\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: