Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Antag att \(f(x,y)\in C^2\) och att vi gör variabelbytet \[ \left\{ \begin{array}{cr} u=&2x+3y,\\ v=&-x+2y. \end{array} \right. \] Uttryck \(\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}}\) och \(\displaystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}}\) i derivatorna av \(f\) med avseende på \(u\) och \(v\).I ditt svar, låt $$A:= \frac{\partial^2 f}{\partial u^2},\ \ B:=\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}, \ \ C:=\frac{\partial^2 f}{\partial v^2},$$ så att dit svar är på formen $a\cdot A + b\cdot B + c\cdot C$ för reella koeficienter $a, b$ och $c$. (normal)
Svar:
Kedjeregeln ger att
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+
\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=
2\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v},
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+
\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=
3\frac{\partial f}{\partial u}+2\frac{\partial f}{\partial v},
\]
vilket på operatorform kan skrivas
\[
\frac{\partial }{\partial x}=2\frac{\partial }{\partial u}-\frac{\partial }{\partial v},
\quad
\frac{\partial }{\partial y}=3\frac{\partial }{\partial u}+2\frac{\partial }{\partial v}.
\]
Vi får nu
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=
\left(2\frac{\partial }{\partial u}-\frac{\partial }{\partial v}\right)\left(2\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}\right)=
4\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}-4\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2},
\]
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=
\left(2\frac{\partial }{\partial u}-\frac{\partial }{\partial v}\right)\left(3\frac{\partial f}{\partial u}+2\frac{\partial f}{\partial v}\right)=
6\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}-2\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: