Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Låt \(f(x)\) vara kontinuerlig på \([a,b]\), deriverbar på \(]a,b[\) och antag dessutom att \(f(a)=f(b)=0\).
a) Bevisa följande generalisering av Rolles sats: om vi antar att \(f(x)\) har \(n\) nollställen i \(]a,b[\), visa att \(f'(x)\) måste ha (minst) \(n+1\) nollställen i \(]a,b[\).
b) Om \(f'(x)\) har \(n+1\) nollställen i \(]a,b[\), måste \(f(x)\) ha (minst) \(n\) nollställen i \(]a,b[\)?
a) Låt \(x_1,x_2,\ldots ,x_n\) vara nollställena till \(f(x)\) i \(]a,b[\). Då kommer enligt den vanliga Rolles sats, vart och ett av intervallen
\(]a,x_1[\),\(]x_1,x_2[\),\(]x_2,x_3[\ldots\) \(,]x_n,b[\) att innehålla minst ett nollställe, vilket sammanlagt ger minst \(n+1\) nollställen till \(f'(x)\).
b) Nej. \(f(x)\) behöver inte ha något nollställe i \(]a,b[\), även om \(f'(x)\) har många nollställen, se figur.