Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Avgör om serien \[ \sum_{k=1}^{\infty} k\ln\left(1+\frac1{k^2}\right) \] är konvergent eller divergent. (normal)Svar:
Taylor-utveckling ger
\[
a_k=k\ln\left(1+\frac1{k^2}\right)=k\left(\frac1{k^2}+O\left(\frac1{k^4}\right)\right)=
\]
\[
=\frac1{k}+O\left(\frac1{k^3}\right).
\]
Om vi nu sätt \(b_k=\frac1{k}\) och observerar att
\[
\lim_{k\to\infty} \frac{a_k}{b_k}=
\lim_{k\to\infty} \frac{\frac1{k}+O\left(\frac1{k^3}\right)}{\frac1{k}}=
\lim_{k\to\infty} \left(1+O\left(\frac1{k^2}\right)\right)=1,
\]
så följer av jämförelsekriterium II att konvergensen av den ursprungliga serien är ekvivalent med konvergensen av den harmoniska serien. Eftersom den harmoniska serien divergerar så följer det därför att vår serie också divergerar.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: