Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Vi definierar en funktion \(f(x)\) genom \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} 1&\,\, \textrm{om}\,\, \frac1{3^k}\le x\le\frac2{3^k}\,\,\textrm{får något heltal}\,\,1\le k ,\\ 0 & \textrm{annars}. \end{array} \right. \] \(f(x)\) har oändligt många diskontinuitetspunkter och är inte någon trappfunktion i vår mening. Men är den integrerbar? För att svara på den frågan, konstruera följder av trappfunktioner \(\Phi_n(x)\) och \(\Psi_n(x)\) sådana att \[ \Phi_n(x) \le f(x)\le \Psi_n(x) \] och sådana att \[ \lim_{n\to\infty} \int_0^1\Phi_n(x)\, dx= \lim_{n\to\infty} \int_0^1\Psi_n(x)\, dx. \] Om detta inträffar så måste gälla att över- och underintegralen av \(f(x)\) är lika och alltså att \(f(x)\) är integrerbar. Vad blir integralen?
Svar:
Vi kan definiera
\[
\Phi_n(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
f(x)&\,\, \textrm{om}\,\, \frac1{3^n}\textrm{<}x\le 1,\\
0 & \textrm{om}\,\, 0\le x\le \frac1{3^{n}}.
\end{array}
\right.
\]
\[
\Psi_n(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
f(x)&\,\, \textrm{om}\,\, \frac1{3^n}< x\le 1,\\
1 & \textrm{om}\,\, 0\le x\le \frac1{3^{n}}.
\end{array}
\right.
\]
Då gäller att \(\Phi_n(x) \le f(x)\le \Psi_n(x)\) är riktiga trappfunktioner, och integralerna av \(\Phi_n(x)\) och \(\Psi_n(x)\) kan beräknas som geometriska summor av rektangel-areor:
\[
\int_0^1\Phi_n(x)\, dx=\frac13+\frac1{3^2}+\frac1{3^3}+\ldots
+\frac1{3^n}\to \frac12,
\]
\[
\int_0^1\Psi_n(x)\, dx=\left(\frac13+\frac1{3^2}+\frac1{3^3}+\ldots
+\frac1{3^n}\right)+\frac1{3^n}\to \frac12.
\]
Vi drar slutsatsen att
\[
\int_0^1 f(x)\, dx=\frac12.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: