Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Undersök följande gränsvärde: \[G = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2-x^2y^2+y^2}{x^2+2x^2y^2+y^2}. \] (normal)Svar:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2-x^2y^2+y^2}{x^2+2x^2y^2+y^2}=
\]
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{1-\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}}{1+2\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}}
\]
Vi beräknar med hjälp av polära koordinater
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}=
\Big[\begin{array}{c}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta
\end{array}
\Big]=
\]
\[
\lim_{r\to 0}r^2\cos^2\theta\sin^2\theta=
\textrm{''går mot noll} \times \textrm{begränsat''}=0.
\]
Insatt i det ursprungliga gränsvärdet får vi
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2-x^2y^2+y^2}{x^2+2x^2y^2+y^2}=
\frac{1-0}{1+2\cdot 0}=1.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: