Vi undersöker punkter där \(\nabla (x^4+y^4)=(4x^3,4y^3)\) och \(\nabla (x^4+xy+y^4-1)=(4x^3+y, 4y^3+x)\) är parallella. Vi får \[ 0= \left| \begin{array}{cc} 4x^3 & 4x^3+y \\ 4y^3 & 4y^3+x \end{array} \right|= \] \[ =4x^3 (4y^3+x)-4y^3 (4x^3+y)=4(x^4-y^4), \] vilket ger att \(x^4=y^4\), dvs \(x=y\) eller \(x=-y\).

Den första möjligheten ger (med \(t=x=y\) insatt i \(x^4+xy+y^4=1\)) att \(t^4+t^2+t^4=1 \Rightarrow 2s^2+s=1\, \, (s=t^2)\,\,\Rightarrow s=-1 \) eller \(s=\frac12 \Rightarrow t^2=\frac12 \Rightarrow t=\pm \frac{1}{\sqrt2} \), vilket ger de två kritiska punkterna \((\pm \frac{1}{\sqrt2},\pm \frac{1}{\sqrt2})\)

P s s ger \(x=-y\) (med \(t=x=-y\) insatt i \(x^4+xy+y^4=1\)) att \(t^4-t^2+t^4=1 \Rightarrow 2s^2-s=1\, \, (s=t^2)\,\,\Rightarrow s=-\frac12 \) eller \(s=1 \Rightarrow t^2=1 \Rightarrow t=\pm 1\), vilket ger de två kritiska punkterna \((\pm 1,\mp 1)\).