Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Betrakta den begränsade talföljd som definieras genom
\[
a_k=\sin\left(k\cdot \frac{\pi}{2}+\frac1{\sqrt{k}}\right), \qquad k=1,2,3,\ldots
\]
Om vi ur följden \(\{a_k\}_{k=1}^{\infty}\) väljer ut en konvergent delföljd, vilka är de möjliga värden som följden kan konvergera mot?
Ange värdena i en kommaseparerad lista, ordnade från minsta till största.
(ganska svår)
När \(k\) blir stort så kommer termen \(\frac1{\sqrt{k}}\) att bli liten, och \(a_k\) kommer därför bara att kunna anta värden som ligger nära \( \sin(\frac{\pi}{2}),\sin \pi, \sin(\frac{3\pi}{2})\) och \(\sin 2\pi\), dvs nära \(0,1\) och \(-1\). Dessa är därför de enda möjliga gränsvärdena för delföljder.
De första hundra elementen i talföljden plottade som funktion av \(k\):