Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Avgör om följande funktioner antar (globalt) max och/eller min på de angivna områdena.\(g(x,y)=\frac{x^2+y^2}{1+x^2+y^2}\) i hela planet \(\mathbb{R}^2\). \(h(x,y)=\frac{2xy}{1+x^2+y^2}\) i hela planet \(\mathbb{R}^2\). (ganska svår)
Svar:
\(g(x,y)\ge 0\) för alla \((x,y)\in \mathbb{R}^2\), men \(g(0,0)=0\) vilket visar att globalt min antas i origo och är lika med \(0\). Däremot antas inte globalt maximum eftersom
\[
\lim_{x^2+y^2\to\infty}g(x,y)=1\qquad \textrm{men} \qquad g(x,y)<1
\]
för alla \((x,y)\in \mathbb{R}^2\).
Det följer av olikheten \(2|xy|\le x^2+y^2\) att \(|h(x,y)|\le g(x,y)<1\) för alla \((x,y)\in \mathbb{R}^2\), dvs \(-1\)<\(h(x,y)\)<\(1\). Men å andra sidan gäller att \[ \lim_{t\to\infty}h(t,t)=1,\qquad \lim_{t\to\infty}h(t,-t)=-1, \] vilket visar att varken max eller min kan antas.
Det följer av olikheten \(2|xy|\le x^2+y^2\) att \(|h(x,y)|\le g(x,y)<1\) för alla \((x,y)\in \mathbb{R}^2\), dvs \(-1\)<\(h(x,y)\)<\(1\). Men å andra sidan gäller att \[ \lim_{t\to\infty}h(t,t)=1,\qquad \lim_{t\to\infty}h(t,-t)=-1, \] vilket visar att varken max eller min kan antas.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: