Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Entydighetssatsen kan ibland användas för att beräkna derivator. Använd MacLaurin-utveckling för att beräkna \(f^{(25)}(0)\) om \(f(x)=x\ln(1-x^2)\). Det går bra att svara med uttryck som innehåller fakulteter $m!$ om dessa skrivs som factorial(m). (normal)Svar:
MacLaurin-utvecklingen
\[
\ln(1+t)=t-\frac12t^2+\ldots -\frac{1}{12}t^{12}+O(t^{13})
\]
ger med \(t=-x^2\)
\[
\ln(1-x^2)=-x^2-\frac12x^4+\ldots -\frac{1}{12}x^{24}+O(x^{26}),
\]
och
\[
x\ln(1-x^2)=-x^3-\frac12x^5+\ldots -\frac{1}{12}x^{25}+O(x^{27}).
\]
Eftersom resttermen är av rätt storleksordning i entydighetssatsen så måste
\[
p_{25}(x)=-x^3-\frac12x^5+\ldots -\frac{1}{12}x^{25}
\]
vara MacLaurin-polynomet av grad 25 (eller 26), och vi kan därför dra slutsatsen att
\[
\frac{f^{(25)}(0)}{25!}=-\frac{1}{12}\,\,\textrm{dvs}\,\,
f^{(25)}(0)=-\frac{25!}{12}.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: