Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Bestäm den stationära punkten till \[ f(x,y,z)=3\ln (x^2+y^2+z^2)-2x-2y-2z, \] samt avgör dess karaktär. (ganska svår)Svar:
Vi beräknar gradienten \(\nabla f=\)
\[
\left(\frac{6x}{x^2+y^2+z^2}-2,\frac{6y}{x^2+y^2+z^2}-2,\frac{6z}{x^2+y^2+z^2}-2\right),
\]
vilket ger ekvationssystemet (efter multiplikation med \((x^2+y^2+z^2)/2\))
\[
\left\{
\begin{array}{cc}
x^2+y^2+z^2&=3x, \\
x^2+y^2+z^2&=3y, \\
x^2+y^2+z^2&=3z,
\end{array}
\right.
\]
av vilket framgår att \(x=y=z\). Insättning i vilken som helst av de tre ekvationerna visar att \(3x^2=3x\), som har lösningarna \(x=0\) och \(x=1\). Detta ger de två punkterna \((0,0,0)\) och \((1,1,1)\), varav endast \((1,1,1)\) ligger i \(f\):s definitionsmängd.
Vi får andraderivatorna
\[
\left\{
\begin{array}{cc}
f''_{xx}&=\frac{6(x^2+y^2+z^2)-12x}{(x^2+y^2+z^2)^2}, \\
f''_{xx}&=\frac{6(x^2+y^2+z^2)-12y}{(x^2+y^2+z^2)^2}, \\
f''_{xx}&=\frac{6(x^2+y^2+z^2)-12z}{(x^2+y^2+z^2)^2},
\end{array}
\right.
\]
\[
\left\{
\begin{array}{cc}
f''_{xy}&=-\frac{12xy}{(x^2+y^2+z^2)^2}, \\
f''_{yz}&=-\frac{12yz}{(x^2+y^2+z^2)^2}, \\
f''_{xz}&=-\frac{12xz}{(x^2+y^2+z^2)^2},
\end{array}
\right.
\]
vilket i punkten \((1,1,1)\) ger den kvadratiska formen
\[
Q(h,k,l)=\frac23h^2+\frac23k^2+\frac23l^2
-\frac83hk-\frac83kl-\frac83hl
\]
\[
=\frac23\left(h^2+k^2+l^2-4hk-4kl-4hl\right)=
\]
\[
=\frac23\left((h-2k-2l)^2-3(k+2l)^2+9l^2\right).
\]
Eftersom kvadraterna får olika tecken är formen indefinit, och punkten är en sadelpunkt.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: