Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
MacLaurin utveckling av arctan ger en fullt användbar metod att beräkna \(\pi\). Redan 1706 kunde John Machin beräkna \(\pi\) med 100 korrekta siffror genom att använda formeln \[ \pi=16\arctan\frac15-4\arctan\frac1{239}, \] tillsammans med utvecklingen av arctan. En enklare (men också mindre effektiv) formel för att beräkna \(\pi\) kan fås genom att betrakta uttrycket \[ P=2\arctan\frac13+\arctan\frac17. \] Bestäm förhållandet \(P/\pi\). (normal)Svar:
Additionsformeln för tangens säger att
\[
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}.
\]
Tillämpad på \(P\) får vi först
\[
\tan(2\arctan\frac13)=\frac{2\cdot\dfrac13}{1-\left(\dfrac13\right)^2}=
\frac34,
\]
och därefter
\[
\tan P=\tan\left(2\arctan\frac13+\arctan\frac17\right)=\frac{\dfrac34+\dfrac17}{1-\dfrac34\cdot\dfrac17}=1.
\]
Detta innebär att \(P=\frac{\pi}{4}+n\pi\) för något heltal \(n\), och eftersom \(0<\arctan\frac17<\arctan\frac13<\arctan 1=\frac{\pi}{4}\) så följer att \(0\)<\(P\)<\(\frac{3\pi}{4}\) och därmed att \(n=0\). Vi ser att \(P=\frac{\pi}{4}\) och alltså att \(P/\pi=1/4\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: