Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Beräkna gränsvärdet \[ L = \lim_{k\to \infty}\frac{2^k+3^{\sqrt{k}}}{2^ {k+3}+2^{\sqrt[3]{k}}}. \] (ganska lätt)Svar:
Det gäller att förstå vilka termer i täljare och nämnare som dominerar. Vi observerar att
\[
\frac{3^{\sqrt{k}}}{2^k}=\exp\left((\ln 3)\sqrt{k}-(\ln 2)k\right)
\to 0,
\]
eftersom \((\ln 2)k\) växer mycket snabbare än \((\ln 3)\sqrt{k}\). På liknande sätt ser vi att
\[
\frac{2^{\sqrt[3]{k}}}{2^k}=\exp\left((\ln 2)\sqrt[3]{k}-(\ln 2)k\right)
\to 0.
\]
Förkortning med \(2^k\) i det ursprungliga gränsvärdet ger
\[
\lim_{k\to \infty}\frac{2^k+3^{\sqrt{k}}}{2^
{k+3}+2^{\sqrt[3]{k}}}=
\lim_{k\to \infty}\frac{1+\dfrac{3^{\sqrt{k}}}{2^k}}
{2^3+\dfrac{2^{\sqrt[3]{k}}}{2^k}}=\frac18.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: