Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Antag att funktionen \(f(x)\) är deriverbar i punkten \(x=1\) och att \(f(1)=1, f'(1)=3\).a) Beräkna \(g'(1)\) om \(g(x)=f(f(f(x)))\).
b) Beräkna mer allmänt \(g_{n}'(1)\) fär alla heltal \(n≥1\), där vi definierar \(g_{1}(x)=f(x)\) och \(g_{n}(x)=f(g_{n-1}(x))\) (för \(n\ge 2\)).
(normal)
Svar:
a) Kedjeregeln använd två gånger ger
\[
g'(x)=f'(f(f(x)))\cdot (f(f(x)))'= f'(f(f(x)))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x).
\]
Om vi sedan sätter \(x=1\) får vi
\[
g'(1)=f'(f(f(1)))\cdot f'(f(1))\cdot f'(1)=f'(1)\cdot f'(1)\cdot f'(1)=27.
\]
b) Observera att \(g_{n}(1)=1\) för alla \(n≥1\). Kedjeregeln ger \[ g_{n}'(x)=f'(g_{n-1}(x))\cdot g_{n-1}'(x) \Rightarrow g_{n}'(1)=3\cdot g_{n-1}'(1). \] Det följer att \(g_{n}'(1)=3\cdot 3\cdot 3\cdot \ldots \cdot 3=3^n\).
b) Observera att \(g_{n}(1)=1\) för alla \(n≥1\). Kedjeregeln ger \[ g_{n}'(x)=f'(g_{n-1}(x))\cdot g_{n-1}'(x) \Rightarrow g_{n}'(1)=3\cdot g_{n-1}'(1). \] Det följer att \(g_{n}'(1)=3\cdot 3\cdot 3\cdot \ldots \cdot 3=3^n\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: