Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Låt \(G(u,v)=(g_1(u,v),g_2(u,v))\) definiera en inverterbar avbildning \(G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) från \(uv\)-planet till \(xy\)-planet sådan att \(G(0,0)=(0,0)\). Antag vidare att \[ \frac{\partial g_1}{\partial u}(0,0)=1, \,\, \frac{\partial g_1}{\partial v}(0,0)=2, \,\, \frac{\partial g_2}{\partial u}(0,0)=2, \,\, \frac{\partial g_2}{\partial v}(0,0)=3. \] Bestäm de partiella derivatorna i origo av den inversa avbildningen \(G^{-1}(x,y)=H(x,y)=(h_1(x,y),h_2(x,y))\). (Ledning: Hur bestämmer man derivatan av en invers i en variabel med hjälp av kedjeregeln?) (ganska svår)Svar:
Att \(G\) och \(H\) är varandras inverser betyder att
\(H\circ G=\textrm{Id}\), vilket uttryckt i komponenterna betyder att
\[
h_1(g_1(u,v),g_2(u,v))=u, \quad h_2(g_1(u,v),g_2(u,v))=v.
\]
Om vi deriverar dessa samband med hjälp av kedjeregeln och sedan sätter \(u=v=0\) får vi
\[
\frac{\partial h_1}{\partial x}(0,0)\frac{\partial g_1}{\partial u}(0,0)+
\frac{\partial h_1}{\partial y}(0,0)\frac{\partial g_2}{\partial u}(0,0)=1,
\]
\[
\frac{\partial h_1}{\partial x}(0,0)\frac{\partial g_1}{\partial v}(0,0)+
\frac{\partial h_1}{\partial y}(0,0)\frac{\partial g_2}{\partial v}(0,0)=0,
\]
\[
\frac{\partial h_2}{\partial x}(0,0)\frac{\partial g_1}{\partial u}(0,0)+
\frac{\partial h_2}{\partial y}(0,0)\frac{\partial g_2}{\partial u}(0,0)=0,
\]
\[
\frac{\partial h_2}{\partial x}(0,0)\frac{\partial g_1}{\partial v}(0,0)+
\frac{\partial h_2}{\partial y}(0,0)\frac{\partial g_2}{\partial v}(0,0)=1,
\]
eller med de givna värdena på \(g_1\):s och \(g_2\):s derivator insatta:
\[
\frac{\partial h_1}{\partial x}(0,0)+
2\frac{\partial h_1}{\partial y}(0,0)=1,
\]
\[
2\frac{\partial h_1}{\partial x}(0,0))+
3\frac{\partial h_1}{\partial y}(0,0)=0,
\]
\[
\frac{\partial h_2}{\partial x}(0,0)+
2\frac{\partial h_2}{\partial y}(0,0)=0,
\]
\[
2\frac{\partial h_2}{\partial x}(0,0)+
3\frac{\partial h_2}{\partial y}(0,0)=1.
\]
Om vi löser dessa ekvationssystem erhåller vi
\[
\frac{\partial h_1}{\partial x}(0,0)=-3, \,\,
\frac{\partial h_1}{\partial y}(0,0)=2, \,\,
\frac{\partial h_2}{\partial x}(0,0)=2, \,\,
\frac{\partial h_2}{\partial y}(0,0)=-1.
\]
Anmärkning: Resultatet kan på matrisform skrivas som
\[
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{\partial h_1}{\partial x}(0,0)&\frac{\partial h_1}{\partial y}(0,0)\\
\frac{\partial h_2}{\partial x}(0,0)&\frac{\partial h_2}{\partial y}(0,0)
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{\partial g_1}{\partial u}(0,0)&\frac{\partial g_1}{\partial v}(0,0)\\
\frac{\partial g_2}{\partial u}(0,0)&\frac{\partial g_2}{\partial v}(0,0)
\end{array}
\right)^{-1}.
\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: