Problem:
Avgör om följande två serier är konvergenta eller inte. \[ \textrm{a)} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1+k(-1)^k}{k^2}, \qquad \textrm{b)} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k\ln(k+1). \] (ganska lätt)Svar:
a) Eftersom
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1+k(-1)^k}{k^2}=
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k},
\]
där den första serien är konvergent (känt sedan avsnitt 8) men även den andra är konvergent (enligt Leibniz kriterium)), så följer att serien är konvergent.
b) Serien är divergent. Den är visserligen alternerande, men termerna går inte mot noll.
b) Serien är divergent. Den är visserligen alternerande, men termerna går inte mot noll.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans:
Problem:
Avgör om följande två serier är konvergenta eller inte. \[ \textrm{a)} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1+k(-1)^k}{k^2}, \qquad \textrm{b)} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k\ln(k+1). \] (ganska lätt)Svar:
a) Eftersom
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1+k(-1)^k}{k^2}=
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k},
\]
där den första serien är konvergent (känt sedan avsnitt 8) men även den andra är konvergent (enligt Leibniz kriterium)), så följer att serien är konvergent.
b) Serien är divergent. Den är visserligen alternerande, men termerna går inte mot noll.
b) Serien är divergent. Den är visserligen alternerande, men termerna går inte mot noll.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: