Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
På vilket intervall av positiva reella tal \(x\) konvergerar följande serie? \[ \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)3^{k-2}x^k. \]a) Ange det största värde på $a$ för vilket serien konvergerar för alla $x < a$.
b) Konvergerar serien då $x=a$?
(normal)
Svar:
Detta är en positiv serie på vilken vi kan tillämpa Cauchys rotkriterium eller d'Alemberts kvotkriterium (båda fungerar). Vi får
med d'Alembert
\[
A=
\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=
\lim_{k\rightarrow \infty}
\frac{(k+2)3^{k-1}x^{k+1}}{(k+1)3^{k-2}x^k}=
\]
\[
\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{k+2}{k+1}3x=3x.
\]
Kvotkriteriet säger nu att serien konvergerar om \(A<1\Leftrightarrow x<\frac13\) och divergerar om
\(A>1\Leftrightarrow x>\frac13\)
I punkten \(x=\frac13\) fås serien
\[
\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)3^{k-2}\frac1{3^k}=
\frac19\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)
\]
som divergerar eftersom termerna inte går mot \(0\).
Svaret blir alltså att serien konvergerar då \(0\le x<\frac13\).
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: