Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Avgör om följande två serier är konvergenta eller inte. \[ \textrm{a)} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}, \qquad \textrm{b)} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2}. \] (ganska lätt)Svar:
a) Eftersom \(\displaystyle{\left|\frac{(-1)^k}{k^2}\right|\le \frac1{k^2}}\) och \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}}\) är konvergent, så är serien absolutkonvergent och därmed konvergent.
b) Eftersom \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2}= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}, \] där den första serien är divergent (en harmonisk serie) och den andra är konvergent (enligt a)), så följer att serien är divergent.
b) Eftersom \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2}= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}, \] där den första serien är divergent (en harmonisk serie) och den andra är konvergent (enligt a)), så följer att serien är divergent.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: