a) Ja. Ty (med polära koordinater) \[ \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}= \] \[ \lim_{r\to 0}r\cos^2\theta \sin\theta=0=f(0,0). \]

b) Ja. Ty funktionen är identiskt noll på koordinat-axlarna, vilket medför att \[ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 \quad \textrm{och} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. \]

c) Nej. Differentierbarhet är ekvivalent med att \(\rho(h,k)\to 0\), där \(\rho(h,k)=\) \[ \frac{f(h,k)-f'_x(0,0)h-f'_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}= \frac{h^2k}{(h^2+k^2)^{3/2}}=\cos^2\theta\sin\theta, \] vilket uppenbarligen inte gäller i det här fallet.

d) Nej. Enligt satsen i videon kan funktionen inte vara av klass \(C^1\) om den inte är differentierbar.