Vi börjar med att derivera inverssambandet \(g(f(x))=x\) två gånger: \[ g'(f(x))f'(x)=1, \] \[ g''(f(x))(f'(x))^2+g'(f(x))f''(x)=0. \] Om vi sätter \(x=0\) och observerar att \(f(0)=0\) och \(g(0)=0\), så får vi \[ g'(0)=\frac1{f'(0)},\quad g''(0)=-\frac{g'(0)f''(0)}{(f'(0))^2}. \] En kort räkning ger nu att \[ f'(x)=1+\frac{1}{1+x} \Rightarrow f'(0)=2, \] \[ f''(x)=-\frac1{(1+x)^2} \Rightarrow f''(0)=-1, \] vilket insatt i formlerna ovan ger \[ g'(0)=\frac12,\quad g''(0)=\frac18. \] Vi får nu slutligen \[ p_2(x)=g(0)+g'(0)x+\frac12g''(0)x^2= \frac12x+\frac1{16}x^2.\]