Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Vilka av följande funktioner har ett strikt minimum i origo? \[ f(x,y)=x^2+xy-y^2, \] \[ g(x,y)=x^2+4xy+3y^2, \] \[ h(x,y)=2x^2+3xy+2y^2. \] (ganska lätt)Svar:
Funktionen \(f\) är strikt positiv på \(x\)-axeln (\(y=0\)) utanför origo, men strikt negativ på \(y\)-axeln (\(x=0\)) utanför origo. Av detta följer att funktionen inte kan ha någon extrempunkt i origo.
Vi kvadratkompletterar \[ g(x,y)=x^2+4xy+3y^2=(x+2y)^2-y^2. \] Det följer att \(g\) är strikt positiv på \(x\)-axeln (\(y=0\)) utanför origo, och strikt negativ på linjen \(x+2y=0\) utanför origo. Av detta följer att funktionen inte kan ha någon extrempunkt i origo.
Vi kvadratkompletterar \[ h(x,y)=2x^2+3xy+2y^2=2(x+\frac34y)^2+\frac78 y^2\ge 0. \] \(h\) är strikt positiv utanför origo, som alltså är en minpunkt.
Vi kvadratkompletterar \[ g(x,y)=x^2+4xy+3y^2=(x+2y)^2-y^2. \] Det följer att \(g\) är strikt positiv på \(x\)-axeln (\(y=0\)) utanför origo, och strikt negativ på linjen \(x+2y=0\) utanför origo. Av detta följer att funktionen inte kan ha någon extrempunkt i origo.
Vi kvadratkompletterar \[ h(x,y)=2x^2+3xy+2y^2=2(x+\frac34y)^2+\frac78 y^2\ge 0. \] \(h\) är strikt positiv utanför origo, som alltså är en minpunkt.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: