Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
a) Är det rimligt att anse att "trumpeten" i videon ska kunna "målas" med en ändlig mängd färg? Argumentera för och emot och jämför med lösningsförslaget.b) Går det att konstruera en kontinuerlig funktion $f(x)>0$ på intervallet $1\le x\le \infty$, sådan att $f(x)\to 0$ då $x\to \infty$, med egenskapen att rotationsvolymen blir oändlig medan rotationsarean blir ändlig?
a) Detta är ett exempel på att man måste vara försiktig när man översätter räkningar med oändligheter till fysikaliska situationer. I vår värld förekommer knappast några oändligheter. T.ex. blir begreppet "färgläggning" meningslöst när $x$ är så stort att trumpetens diameter blir mindre än storleken på en färgmolekyl.
b) Nej. Eftersom $f(x)\to 0$ så kommer det att finnas ett tal $R$ sådant att $0\le f(x)\le 1$ för $x\ge R$. Då följer också att $(f(x))^2\le f(x)$ för $x\ge R$, och därmed:\[2\pi \int_{R}^{\infty} f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2}\, dx\ge 2\pi \int_{R}^{\infty} f(x) \, dx\]\[\ge 2\pi \int_{R}^{\infty} (f(x))^2 \, dx=2\cdot \pi \int_{R}^{\infty} (f(x))^2 \, dx.\]Om rotationsvolymen är oändlig så är den sista integralen divergent, och det följer då av olikheterna att även den första integralen är divergent. Detta betyder att rotationsarean är oändlig.
b) Nej. Eftersom $f(x)\to 0$ så kommer det att finnas ett tal $R$ sådant att $0\le f(x)\le 1$ för $x\ge R$. Då följer också att $(f(x))^2\le f(x)$ för $x\ge R$, och därmed:\[2\pi \int_{R}^{\infty} f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2}\, dx\ge 2\pi \int_{R}^{\infty} f(x) \, dx\]\[\ge 2\pi \int_{R}^{\infty} (f(x))^2 \, dx=2\cdot \pi \int_{R}^{\infty} (f(x))^2 \, dx.\]Om rotationsvolymen är oändlig så är den sista integralen divergent, och det följer då av olikheterna att även den första integralen är divergent. Detta betyder att rotationsarean är oändlig.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: