Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Som integralkalkylens generaliserade medelvärdessats formuleras i videon så antar vi att $g(t)\ge 0$ och det underförstås också att $c\le d$. Men när vi tillämpar satsen på integralen\[\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, dt\]så behöver inte dessa förutsättningar vara uppfyllda om $x < a$ och $n$ udda. Argumentera att det ändå går att skriva om integralen som\[f^{(n+1)}(\xi)\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} \, dt, \quad x < \xi < a,\]om $x < a$ och $n$ udda.\[\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, dt=\]\[-\int_x^a \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, dt\]\[\int_x^a \left(-\frac{(x-t)^n}{n!}\right) f^{(n+1)}(t)\, dt.\]Eftersom $\displaystyle{\left(-\frac{(x-t)^n}{n!}\right)}$ nu är positiv kan vi använda medelvärdessatsen för att skriva om integralen som:\[f^{(n+1)}(\xi)\int_x^a \left(-\frac{(x-t)^n}{n!}\right) \, dt=\]\[f^{(n+1)}(\xi)\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} \, dt.\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: