\[y(x)=x+\int_0^x y(t)\, dt \Rightarrow y'=1+y\\ \Leftrightarrow \\y'-y=1.\]Denna ekvation är linjär och av första ordningen. En integrerande faktor är $\text{I.F.}=e^{-x}$. Efter multiplikation med denna får vi\[y'e^{-x}-ye^{-x}=e^{-x} \quad \Leftrightarrow \quad D\left(ye^{-x}\right)=e^{-x} \\ \Leftrightarrow \\ye^{-x}=C-e^{-x}\quad \Leftrightarrow\quad y=Ce^x-1.\]Genom att stoppa in $x=0$ i den ursprungliga ekvationen får vi att \[y(0)=0+\int_0^0y(t)\, dt=0.\]Detta ger nu att\[0=y(0)=Ce^0-1=C-1 \Rightarrow C=1.\]Integralekvationens lösning blir nu \[ y=e^x-1,\] vilket också enkelt kan verifieras genom att stoppa in funktionen i integralekvationens högerled och beräkna integralen.