Ansätt partikulärlösningen $y_p=ax^2+bx+c$. Vi får $y_p'=2ax+b$ och $y_p''=2a$, vilket insatt i ekvationen ger\[2a+4(2ax+b)+3(ax^2+bx+c)=3x^2-x-1 \Leftrightarrow \]\[(3a)x^2 +(8a+3b)x+(2a+4b+3c)=3x^2-x-1.\]Jämförelse av koefficienterna ger ekvationssystemet\[\left\{\begin{array}{rrrr} 3a& &= &3,\\ 8a & +3b &=& -1,\\ 2a & +4b & +3c=& -1, \end{array}\right.\]med lösningen $a=1,b=-3,c=3$. Vi får alltså partikulärlösningen\[y_p=x^2-3x+3.\]