Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Bevisa olikheterna \[ \cos x>1-\dfrac12x^2 \quad \textrm{och}\quad \sin x>x-\dfrac16x^3\] för $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$.(Jämför sedan med lösningsförslaget.)
Sätt $g(x)=\cos x-(1-\dfrac12 x^2)$ och $h(x)=\sin x-(x-\dfrac16x^3)$. Det räcker att visa att $g(x)>0$ och $h(x)>0$ för $x>0$. Vi noterar att $g(0)=h(0)=0$. Vi ser nu att \[g'(x)=-\sin x+x>0 \, \textrm{och} \ h'(x)=\cos x-1+\dfrac12x^2>0,\]där vi för $g'(x)$ använt den kända olikheten $\sin x < x$ för $x>0$, och för $h'(x)$ använt att vi redan visat att $g(x)>0$ på intervallet.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: