Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Om vi vet att alla derivator till funktionen $f(x)$ uppfyller villkoret $|f^{(n)}(x)| \le 3, n=1,2,3,\ldots$ för alla $x$ sådana att $0\le x\le 1$, hur många termer ska vi ta med i Taylorutvecklingen runt $a=0$ för att vara säkra på att resttermen för $x=1$ ska bli mindre än $0.01$?Svar:
Det vi kan säga om resttermen enligt satsen om Taylorutveckling är att felet med $n$ termer, då $x=1$, blir lika med\[\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}.\]Enligt de givna olikheterna för derivatorna kan detta fel uppskattas med\[\left|\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \right|\le \dfrac{3}{(n+1)!}.\]Om vi testar med $n=0,1,2,3,4,5$ får vi följande värden på högerledet:\[3, 1.5, 0.5, 0.125, 0.025, 0.004167.\]Bara det sista av talen är mindre än $0.01$.
Tydligen räcker det inte med $n=4$, men däremot med $n=5$.
Tydligen räcker det inte med $n=4$, men däremot med $n=5$.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: