\[\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)=\]\[\left(1+x+x^2+x^3+\ldots \right)\left(1+x+x^2+x^3+\ldots \right)=\]\[1\cdot 1+(1\cdot x+x\cdot 1)+(1\cdot x^2+x\cdot x+x^2\cdot 1)+\ldots\]\[1+2x+3x^2+4x^3+\ldots =\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}.\]
Anmärkning: Om vi observerar att båda faktorerna kan summeras till $\dfrac{1}{1-x}$ (geometriska serier) så visar ovanstående att\[\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}.\]