Vi delar först upp i två integraler:\[ \int\dfrac{4x+5}{x^2+4}dx=2\int\dfrac{2xdx}{x^2+4}+5\int\dfrac{dx}{x^2+4}.\]Den första beräkna direkt som\[ \int\dfrac{2x}{x^2+4}dx=\ln(x^2+4)\quad (+C).\]I den andra gör vi variabelbytet $x=2t,dx=2dt$:\[\int\dfrac{dx}{x^2+4}=\int\dfrac{dx}{x^2+4}=\int\dfrac{2dt}{4t^2+4}=\]\[ \dfrac12\int\dfrac{dt}{t^2+1}=\dfrac12\arctan t\,(+C)= \dfrac12\arctan \dfrac{x}{2}\,(+C) \]Sammantaget får vi alltså\[\int\dfrac{4x+5}{x^2+4}dx=2\ln(x^2+4) + \dfrac52\arctan \dfrac{x}{2}+C. \]
Notera att svar som saknar konstanten $C$ inte godkänns.