Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Bestäm en lösning till differentialekvationen $y'+\sqrt{x}y=\sqrt{x}$, vars graf går genom origo. Använd $x$ som variabel när du anger ditt svar.Svar:
Vi bestämmer en integrerande faktor genom\[\int \sqrt{x}\, dx = \dfrac23 x^{3/2},\quad \Rightarrow \quad \textrm{I.F.}=\exp{(\dfrac{2}{3}x^{3/2})}.\]Vi multiplicerar D.E. med I.F. och får\begin{align}y'\exp{(\dfrac{2}{3}x^{3/2})}+\sqrt{x}\exp{(\dfrac{2}{3}x^{3/2})}y=\sqrt{x}\exp{(\dfrac{2}{3}x^{3/2})} \\ \Leftrightarrow\\ D\left(y\exp{(\dfrac{2}{3}x^{3/2})}\right)= \sqrt{x}\exp{(\dfrac{2}{3}x^{3/2})} \\ \Leftrightarrow \\y\exp{(\dfrac23 x^{3/2})}=\exp{(\dfrac{2}{3}x^{3/2})} +C\\ \Leftrightarrow \\ y=1+C\exp{(-\dfrac{2}{3}x^{3/2})}.\end{align}För att bestämma $C$ använder vi att $y(0)=0$:\begin{align}0=y(0)=1+Ce^0=1+C\quad \textrm{d.v.s.}\quad C=-1.\end{align}Vi får slutligen lösningen\[y=1-\exp{(-\dfrac23 x^{3/2})}.\]
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: