Online Video Interface - Matematiska institutionen

Linjära koordinatbyten är ett specialfall av en allmännare typ av koordinatbyten som kallas affina koordinatbyten:\[\left\{\begin{array}{cc} x=&x_0+\alpha u+\beta v\\ y=&y_0+\gamma u+\delta v \end{array}\right. \] med motsvarande substitutionsformel:\[\iint_Df(x,y)\, dxdy= \]\[\iint_Ef(x_0+\alpha u+\beta v,y_0+\gamma u+\delta v) |\alpha\delta-\beta\gamma|dudv.\] Hur ska konstanterna $x_0,\ y_0,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$ väljas om vi vill avbilda kvadraten med hörn \[(2,1),(3,0),(4,1),(3,2) \]i $x,y$-planet på kvadraten med hörn\[(-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1) \]i $u,v$-planet? (så att $(2,1)$ svarar mot $(-1,-1)$, $(3,0)$ svarar mot $(1,-1)$ osv.)

Svara med värden separerade av kommatecken.

Visa lösningsförslag

Translationsavbildningen $(x,y)\mapsto (x-3,y-1)$ avbildar\[(2,1),(3,0),(4,1),(3,2)\]på\[(-1,0),(0,-1),(1,0),(0,1).\]Å andra sidan vet vi från föreläsningen att avbildningen $(x,y)\mapsto (x-y,x+y)$ avbildar\[(-1,0),(0,-1),(1,0),(0,1). \]på\[(-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1).\]Sammansättning av dessa avbildningar ger att avbildningen $(x,y)\mapsto (x-y-2,x+y-4)$ avbildar motsvarande hörn rätt, vilket ger\[\left\{\begin{array}{cc}u=&-2+x-y\\ v=&-4+x+y \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc} x=&3+\dfrac12 u+\dfrac12 v\\ y=&1-\dfrac12 u+\dfrac12 v \end{array}\right.,\]dvs$x_0=3,\ y_0=1,\ \alpha=\dfrac12,\ \beta=\dfrac12,\ \gamma=-\dfrac12,\ \delta=\dfrac12$.

Maila för handledning.