Eftersom $\dfrac{\partial} {\partial x} = 3 - 12x^2 + 12 y$ och $\dfrac{\partial f}{\partial y} = 12x,$ så, följer det att derivatorna är $0$ om och endast om $x=0,y= - \dfrac{1}{4}.$ Det finns alltså, inga stationära punkter inuti området och eftersom funktionen är partiellt deriverbar överallt så måste den anta sina extremvärden på, randen. Randen till området består av tre segment som ligger på, linjerna $x=0, \, y=0, \, x+y=1.$ Låt oss behandla dessa segment separat.
Om $x=0$ då, är $f(x,y)=0.$
Om $y=0$ då, är $f(x,y)=3x - 4x^3=:g(x),$ $0\leq x \leq 1.$ $g'(x) = 3 - 12x^2 = 0$ om och endast om $x = \pm \dfrac{1}{2}.$ Av dessa nollställen till derivatan ligger bara $\dfrac{1}{2}$ i intervallet $[0,1].$ Vi ser att $f(\dfrac{1}{2},0) = 1.$ Vidare skall vi beräkna funktionens värden i hörnen: $f(0,0)=f(0, 1)=0, f(1,0)=-1.$
Om $x+y=1$ då, fås $y=1-x$ och $f(x,y)=f(x,1-x) = - 4x^3 - 12x^2 + 15x =: h(x),$ $0\leq x \leq 1.$ $h'(x) = -12x^2 - 24x + 15.$ Detta andragradspolynom har rötterna $\dfrac{1}{2}, -\dfrac{5}{2}.$ Av dem ligger bara $\dfrac{1}{2}$ i intervallet $[0,1].$ Vi ser att $f(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})=4.$ Genom att jämföra de erhållna värdena $-1,0,1,4$ får vi att funktionens minsta värde är $-1,$ (det antas i punkten $(1,0)$), och att funktionens största värde är $4,$ det antas i punkten $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}).$