Efter videon följer ett problem som du kan lösa för att testa att du tillgodogjort dig innehållet.
Problem:
Det är något mer tekniskt att visa variabelsubstitutionsformeln för allmänna integrander, men faktiskt inte så mycket. Kontrollera först att resonemanget i videon även fungerar i fallet då ränderna till \(D\) och \(E\) är styckvis \(C^1\). Vi skissar nu ett bevis i två steg för formeln \[ \iint_D f(x,y) \,dxdy=\iint_E f\circ F(u,v)|J(u,v)|\, dudv \] för det fall då \(F:E\to D\) är en \(C^1\)-bijektion från en öppen omgivning \(E'\) av \(\overline{E}\) till en öppen omgivning \(D'\) av \(\overline{D}\) och \(f\) och \(f\circ F|J|\) är integrerbara över \(D\) respektive \(E\):I. Fundera först på varför formeln följer då integranden är en trappfunktion på \(D\). En trappfunktion kan ses som en ändlig summa av funktioner som var och en är konstant på en viss rektangel och noll utanför.
II. Använd I. och det faktum att \(\underline{\iint}=\overline{\iint}\) för integrerbara funktioner för att visa formeln. Vi tolkar integralen av \(f\) över \(D\) som integralen av \(f_D\) över \(D'\), där \(f_D=f\) på \(D\) och noll utanför. Vi noterar också att det räcker att titta på trappfunktioner som är noll utanför \(D'\) i definitionerna.
Jämför sedan med lösningsförslaget. (svår)
I. Om \(\Phi\) är en trappfunktion på \(D\) så finns en ändlig uppsättning (disjunkta) rektanglar \(D_{\alpha}\) i \(D'\) sådan att \(\Phi\) är konstant på varje \(D_{\alpha}\). Då gäller, enligt resonemanget i videon, variabelsubstitutionsformeln på varje \(D_{\alpha}\) (med \(E_{\alpha}=F^{-1}(D_{\alpha})\)):
\[
\iint_{D_{\alpha}} \Phi(x,y) \,dxdy=\iint_{E_{\alpha}} \Phi\circ F(u,v)|J(u,v)|\, dudv.
\]
Det följer att
\[
\iint_{D} \Phi \,dxdy=\sum_{\alpha}\iint_{D_{\alpha}} \Phi \,dxdy=
\sum_{\alpha}\iint_{E_{\alpha}}( \Phi\circ F)|J|\, dudv=\iint_{E} (\Phi\circ F)|J|\, dudv.
\]
II. Enligt definitionen av underintegral gäller att \[ \underline{\iint}_Dfdxdy=\sup_{\Phi\le f}\iint_{D} \Phi \,dxdy= \sup_{\Phi\le f}\iint_{E} (\Phi\circ F)|J|dudv\le \iint_{E} (f\circ F)|J|\, dudv. \] Den sista olikheten följer av att \[ \Phi\le f\Rightarrow (\Phi\circ F)|J|\le (f\circ F)|J| \Rightarrow \iint_{E} (\Phi\circ F)|J|dudv\le \iint_{E} (f\circ F)|J|\, dudv, \] vilket visar att den sista integralen faktiskt ÄR en övre begränsning till den mängd som vi tar supremum av.
Genom att i stället resonera med överintegral och infimum visas på liknande sätt att \[ \overline{\iint}_Dfdxdy\ge \iint_{E} f\circ F)|J|\, dudv. \] Sammanfattningsvis har vi visat att \[ \underline{\iint}_Dfdxdy\le \iint_{E} f\circ F)|J|\, dudv\le \overline{\iint}_Dfdxdy. \] Men ytterleden är ju lika för en integrerbar funktion, och dessutom lika med den vanliga integralen. Variabelsubstitutionsformeln följer.
II. Enligt definitionen av underintegral gäller att \[ \underline{\iint}_Dfdxdy=\sup_{\Phi\le f}\iint_{D} \Phi \,dxdy= \sup_{\Phi\le f}\iint_{E} (\Phi\circ F)|J|dudv\le \iint_{E} (f\circ F)|J|\, dudv. \] Den sista olikheten följer av att \[ \Phi\le f\Rightarrow (\Phi\circ F)|J|\le (f\circ F)|J| \Rightarrow \iint_{E} (\Phi\circ F)|J|dudv\le \iint_{E} (f\circ F)|J|\, dudv, \] vilket visar att den sista integralen faktiskt ÄR en övre begränsning till den mängd som vi tar supremum av.
Genom att i stället resonera med överintegral och infimum visas på liknande sätt att \[ \overline{\iint}_Dfdxdy\ge \iint_{E} f\circ F)|J|\, dudv. \] Sammanfattningsvis har vi visat att \[ \underline{\iint}_Dfdxdy\le \iint_{E} f\circ F)|J|\, dudv\le \overline{\iint}_Dfdxdy. \] Men ytterleden är ju lika för en integrerbar funktion, och dessutom lika med den vanliga integralen. Variabelsubstitutionsformeln följer.
Maila för handledning.
Hur upplevde du problemet?
Svårighet:
Relevans:
Svårighet:
Relevans: