Online Video Interface - Matematiska institutionen

Finn en rekursionsformel för att beräkna \[ ı_m=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2m}e^{-x^2}\, dx,\quad n=0,1,2\ldots \] Denna formel kan användas för att beräkna alla integraler av typen \[ ı=\int_{-\infty}^{\infty}p(x)e^{-x^2}\, dx, \] där $p(x)$ är ett polynom. (Observera att termer av udda ordning i $p(x)$ inte ger något bidrag av symmetriskäl.) (medel)
Svara med $f(m)$ där $I_m = f(m)I_{m-1}$.

Visa lösningsförslag

Vi vet från videon att $I_0=\sqrt{\pi}$. För $m\ge 1$ får vi med en partialintegrering att \[ ı_m=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2m}e^{-x^2}\, dx= \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n x^{2m}e^{-x^2}\, dx= \] \[ \lim_{n\to\infty}\left(\Big[-\frac12 x^{2m-1}e^{-x^2}\Big]_{-n}^n+ \frac12\int_{-n}^n (2m-1)x^{2m-2}e^{-x^2}\, dx\right)= \] \[ \frac12\int_{-\infty}^{\infty} (2m-1)x^{2m-2}e^{-x^2}\, dx=\frac{2m-1}{2}I_{m-1}. \] Observera att den generaliserade integralen kan skrivas som ett två-sidigt gränsvärde eftersom den är absolutkonvergent.)

Maila för handledning.