Online Video Interface - Matematiska institutionen

Vilken eller vilka av följande funktioner är analytiska? \[f_1(x,y)=P_1(x,y)+iQ_1(x,y)=(x^3+3xy^2)+i(3x^2y+y^3),\] \[f_2(x,y)=P_2(x,y)+iQ_2(x,y)=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3),\] \[f_3(x,y)=P_3(x,y)+iQ_3(x,y)=(x^3-3xy^2)+i(y^3-3x^2y).\] (ganska lätt)

Visa lösningsförslag

Vi kan använda Cauchy-Riemanns ekvationer: \[ -\frac{\partial Q_1}{\partial x}=-6xy\ne 6xy =\frac{\partial P_1}{\partial y} \] \[ \frac{\partial P_1}{\partial x}=3x^2+3y^2 =\frac{\partial Q_1}{\partial y} \] \(f_1\) uppfyller bara den andra ekvationen och är alltså inte analytisk. \[ -\frac{\partial Q_2}{\partial x}=-6xy =\frac{\partial P_2}{\partial y} \] \[ \frac{\partial P_2}{\partial x}=3x^2-3y^2 =\frac{\partial Q_2}{\partial y} \] \(f_2\) uppfyller båda ekvationerna och är alltså analytisk. \[ -\frac{\partial Q_3}{\partial x}=6xy\ne -6xy =\frac{\partial P_3}{\partial y} \] \[ \frac{\partial P_3}{\partial x}=3x^2-3y^2\ne 3y^2-3x^2 =\frac{\partial Q_3}{\partial y} \] \(f_3\) uppfyller ingen av ekvationerna och är alltså inte analytisk.

Maila för handledning.