Online Video Interface - Matematiska institutionen

Ett analytiskt sätt att beskriva ett Möbius-band är genom avbildningen \(\mathbf{r}: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) som definieras genom att \( \mathbf{r}(u,v)= \) \[ \left(v \cos \left(\frac{u}{2}\right) \cos (u)+2 \cos (u),v \sin (u) \cos \left(\frac{u}{2}\right)+2 \sin (u),v \sin \left(\frac{u}{2}\right)\right), \] där \(0\le u\le 2\pi\) och \(-\frac12 \le v \le \frac12\).

Punkten \((u,v)=(0,0)\) svarar mot punkten \((2,0,0)\) på Möbius-bandet. Om vi låter parametern \(u\) växa från 0 till \(2\pi\) (med \(v=0\)), så svarar detta mot att gå runt Möbius-bandet ett varv, och punkten \((u,v)=(2\pi,0)\) svarar också mycket riktigt mot samma punkt \((2,0,0)\) på bandet som vi startade från. Beräkna på vanligt sätt (det onormaliserade) normalvektorfältet \(\mathbf{n}(u,v)=\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v\) och beräkna sedan \(\mathbf{n}(0,0)\) och \(\mathbf{n}(2\pi,0)\). Hur förhåller dessa båda vektorer sig till varandra? (svår)

Visa lösningsförslag

En beräkning av normalvektorfältet ger \(\mathbf{n}(u,v)=\) \[ \left(\sin \left(\frac{u}{2}\right) \left(2 \cos (u)-v \sin \left(\frac{u}{2}\right) \sin (u)\right),\frac{1}{2} \left(v \left(\sin ^2(u)+\cos (u)\right)+2 \cos \left(\frac{u}{2}\right)-2 \cos \left(\frac{3 u}{2}\right)\right),-\cos \left(\frac{u}{2}\right) \left(v \cos \left(\frac{u}{2}\right)+2\right)\right). \] Insättning av punkterna \((0,0)\) och \((2\pi,0)\) ger \[ \mathbf{n}(0,0)=(0,0,-2) \quad \mathrm{och} \quad \mathbf{n}(2\pi,0)=(0,0,2). \] Vi kan alltså konstatera att normalvektorfältet pekar i motsatt riktning efter att ha gått runt ett varv.

Maila för handledning.